Duodezimal - Rechnen mit der Basis 12

Menschen rechnen fast überall auf der Welt mit der Basis 10; das ist die Grundlage des Dezimalsystems. Trotz seiner enormen Verbreitung und quasi universellen Anwendung, ist es ein künstliches Nummerierungs- und Zählsystem, das gegenüber anderen System keine Vorteile bietet und nur aus einem einzigen historischen Grund verwendet wird: Wir haben 5 Finger an jeder Hand. Viele Mathematiker sind heute der Meinung, dass es viele Nachteile hat, zur Basis 10 zu rechnen. Viel sinnvoller wäre es, zur Basis 12 zu rechnen. Diese Website erklärt warum Duodezimal besser ist und wie wir es einführen könnten.





Wenn die Evolution uns mit 6 statt 5 Fingern an jeder Hand ausgestattet hätte, gäbe es dieses Problem heute nicht. So, müssen wir mit dem unhandlichen Dezimalsystem leben.

Nachteile des Dezimalsystems

Wenn wir uns das Zehnersystem genauer anschauen, wird schnell klar welchen frustrierenden Limitierungen es unterworfen ist. 10 hat lediglich zwei Teiler, die 5 und die 2. Und diese wiederum sind nicht sehr nützlich:

  • 5 ist eine Primzahl, kann also nicht weiter geteilt werden.
  • 2 ist eine sehr kleine natürliche Zahl.

Verteidiger des Dezimalsystem sprechen oft davon, dass es uns erlaubt das Komma beim Multiplizieren und Dividieren zu verschieben. Aber das ist keine exklusive Eigenschaft der Rechnung zur Basis 10. Egal zu welcher Basis ich rechne, ich habe diese Möglichkeit immer!

Interessanter Weise hat sich das Zehnersystem nicht in allen menschlichen Gesellschaften durchgesetzt.

  • Die Maya haben ein System zur Basis 20 genutzt.
  • Die Babylonier haben sogar ein Basis-60-System entwickelt.
  • Systeme zur Basis 8 (Oktadezimal) und 16 (Hexadezimal) werden ebenfalls oft verwendet, primär für Berechnungen am Computer.
  • Navigatoren und Landmesser setzen das 360er System, mit dem zum Beispiel der Radius im Kreis gemessen wird, ein.

Diese Alternativen sind jedoch dem Dezimalsystem für die Anwendung durch Menschen nicht überlegen.

  • Die Basis 20 ist ungeeignet um mit den Fingern zu zählen; unsere Zehen sind da auch keine Hilfe.
  • Die Basis des Oktadezimalsystems ist zu klein und 16, 60 und 360 sind sehr unhandliche Basen.

Zum Glück gibt es eine Basis, die zwischen diesen Werten sitz. Sie erzeugt ein Zahlensystem, dass eine Vielzahl von Vorteilen bietet, die es zum idealen System fürs Zählen und Rechnen machen.

Die Geschichte des Duodezimalsystems

Das Duodezimalsystem (auch Dutzendersystem; engl. Duodecimal, base-12 oder dozenal) wurde im 17. Jahrhundert populär als Mathematiker anfingen, die Limitierungen des Zehnersystems zu erkennen.

1935 veröffentlichte Frank Emerson Andrews das Buch New Numbers: How Acceptance of a Duodecimal Base Would Simplify Mathematics, in welchem er für den Umstieg auf das Duodezimalsystem plädierte. Eines seiner Argumente war die indirekte Verwendung des Duodezimal System in traditionellen Messeinheiten für Längen und Gewichte:

  • Ein Zollstock besteht aus 12 Einheiten.
  • Lebensmittelhänlder rechnen oft in Dutzend (=12) und Ries (=144 =12x12).
  • Apotheker und Juweliere rechnen mit dem Pfund, welches aus 12 Unzen besteht.
  • Die Münze Schilling entspricht 12 Denaren.
  • Ein Jahr hat 12 Monate.
  • Ein Tag ist in zwei Zyklen von je 12 Stunden eingeteilt.

Auch sprachhistorisch spielt die Zahl 12 eine große Rolle. Sowohl im Deutschen, als auch auf Englisch ist die Zwölf (twelve) die größte zweistellige Zahl mit eigenem Namen. Größere Zahlen wie Dreizehn (thirteen) sind aus kleineren Zahlworten zusammengesetzt. Offensichtlich war es zu der Zeit, als unsere Sprache entstanden ist, natürlich in Dutzenden zu denken.

1962, drei Jahrzehnte nach Andrews Buch, schrieb der neuseeländische Mathematiker Alexander Craig Aitken in der 67. Ausgabe von The Listener:

Duodezimaltabellen sind einfacher zu meistern als Dezimaltabellen; und beim Unterrichten kleiner Kinder wären sie viel interessanter, da die Schüler faszinierendere Dinge finden könnten, die sie mit 12 Seilen oder Blöcken anstellen können als mit 10. Jeder, der zu dieser Basis rechnet, wird bestimmte Berechnungen 1,5-mal schneller ausführen können. Dies ist meine Erfahrung; ich bin mir sicher, dass dies auch für andere gelten würde.

Seit der Zeit von Andrews und Aitken hat die Duodezimal-Bewegung einige begeisterte Unterstützer gewonnen. Es haben sich unter anderem die Dozenal Society of America in den USA und die Dozenal Society of Great Britain (DSGB) in UK gebildet. Das Argument dieser Duodezimal Anhänger ist, dass es die Mathematik verständlicher und benutzbarer machen würde; insbesondere für Kinder und Schüler.

Es kommt auf die Teiler an

12 ist die kleinste Zahl mit vier Teilern: 2, 3, 4 und 6 (1 und 12 zählen wir nicht). Wie bereits oben erwähnt, hat die 10 nur zwei. Folglich ist die 12 viel praktischer bei der Bruchrechnung.

Außerdem können die drei häufigsten Brüche (Halbe, Drittel und Viertel) angenehm dargestellt werden, da 6, 4 und 3 ganze Zahlen sind. Beim Dezimalsystem müssten wir mit 0.5, 0.25 und 0.3333333333333333 kämpfen.

Für Berechnungen am Computer weißt das Duodezimalsystem ähnliche Vorteile wie das Hexadezimalsystem (Basis 16) auf. Die Zahl 12 hat mit 2 und 3 zwei Teiler, die Primzahlen sind, was für Kryptografie und die Darstellung von Brüchen sehr nützlich ist.

Was ist mit der Uhrzeit?

Eine duodezimale Uhr Eine duodezimale Uhr

Auch die Uhrzeit anzugeben würde im Duodezimal System einfacher fallen. 5 Minuten sind ein Zwölftel einer Stunde. Anstatt "fünf nach eins" könnten "eins und ein Zwölftel" sagen. "zehn nach" wäre "1;2", "viertel nach" "1;3", usw. Das Symbol ";" wird hier als Duodezimal-Trennzeichen verwendet.

Allerdings würden wir eine neue Uhr benötigen. In unseren traditionellen Dezimaluhren zeigt der Minutenzeiger auf eine Zahl, welche dann mit 5 multipliziert werden muss. Zeigt er auf die 1 ist es 5 nach, zweigt er auf die 2 ist es 10 nach, usw. Bei einer Duodezimal-Uhr ließe sich die Zeit "1;4" sofort ablesen. Die 4 müsste nicht mit 5 multipliziert werde um auf "20 nach eins" zu kommen.

Notation

Beim Betrachten der duodezimalen Uhr fallen zwei merkwürdige Symbole auf. Diese sind notwendig, da wir Symbole benötigen, die die Zahlen Zehn und Elf zu repräsentieren. Achtung: Unsere Zahlsymbole sind nicht alphabetisch. 12 steht einfach für komplette 10 (daher die 1 in der ersten Spalte) und dann noch 2 zusätzlich (repräsentiert durch die 2 in der zweiten Spalte). Ob man von 1 bis 10 nun zehn oder fünfundfünfzig Schritte braucht, geht aus dieser Notation nicht hervor.

Nachdem Andrews die Vorteile des duodezimalen Systems erkannt hatte, führte er neue Symbole ein. Anstatt A und B für 10 und 11 zu verwenden, die im Hexadezimalsystem für das Weiterzählen verwendet werden, schlug er 𝒳 (U+1D4B3) und ℰ (U+2130) vor. Die ersten zwölf Zahlen in Duodezimal wären also:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 𝒳, ℰ, 10

Alternativen für 𝒳 und ℰ sind T und E. Der Mathematiker Isaac Pitman wollte die 2 und 3 rotieren um die 10 und 11 zu repräsentieren. Ein alternatives Schema, welches auf Telefontastaturen optimiert ist, verwendet * für 10 und # für 11. Wir werden hier im Folgenden ebenfalls mit * und # arbeiten.

Alle Schreibweisen auf einen Blick:

Jahr Person10 11
1644Juan Lobkowitzpη
1750Jean-Baptiste d'AlembertXZ
1857Sir Isaac Pitman
2
3
1932William Addison Dwiggins 𝒳
3
1935Frank Emerson Andrews 𝒳
1945Lancelot Hogben
n/aunklarTE
n/aunklar*#

In der Bruchrechnung entspricht das Dezimal 0,5 dem Duodezimal 0;6 (denn die Hälfte von 10 ist 5, während die Hälfte von 12 6 ist.

Wenn das verwirrend ist, kann der (Duo)Dezimal-Umrechner helfen.

Für Zahlen größer zwölf würden wir ein Prefix einführen. Nach 1, 2, 3, …, 9, *, #, 10 kämen 11, 12, 13. Diese drei Zahlen würden der 13, 14 und 15 im Dezimalsystem entsprechen. Und statt den dezimalen 22, 23 und 24 würden wir 1*, 1# und 20 schreiben.

Duodezimal  Dezimal
11
22
33
44
55
66
77
88
99
*10
#11
1012
1113
1214
1315
1416
1517
1618
1719
1820
1921
1*22
1#23
2024
2125
2226
2327

Aussprache

Für die Aussprach unterstützt Donald P. Goodman, Präsident der Dozenal Society of America, "ten" für *, "elv" für # und "unqua" für 12. Auf Deutschen wären das also Zehn, Elf und Unqua. Konkret würden wir so zählen:

Eins, zwei, …, acht, neun, zehn, elf, unqua

In der amerikanischen TV-Serie Schoolhouse Rock! taucht 1973 in der Episode Little Twelvetoes ein Alien auf, das in einem System zur Basis 12 rechnet. Es nennt die letzten drei Zahlen "dek", "el" und "doh".

  • "dek" ist kurz für Deca
  • "el" kommt von eleven/elf
  • "doh" ist kurz für dozen/Dutzend

Viele Duodezimal Anwender haben diese Aussprache übernommen.

Um eine Zahl größer 12, zum Beispiel die duodezimale 15 auszusprechen, würden wir doh-fünf sagen, also 12 und 5. Dies lässt sich auf andere Zahlen wie die 64 (sechs-doh-vier) übertragen. Sobald wir eine Zahl größer ## (el-doh-el) erreichen, brauchen wir einen neuen Begriff für die dritte Spalte.

Da 12 Dutzend ein Ries sind, wäre die duodezimale 100 ein Ries. Die Zahl 25* wäre als zwei-ries-fünf-doh-dek. Im Dezimalsystem wäre dies die Zahl 358.

Mit den Fingern zählen

Ein beliebter Kritikpunkt am Deodezimalsystem ist, dass es den Vorteil des Zählens mit den Fingern ruinieren würde. Doch dem ist nicht so!

Duodezimales Zählen mit den Fingern Duodezimales Zählen mit den Fingern

Jeder Finger, außer dem Daumen, besteht aus drei Teilen. Mit dem Daumen als Zeiger, stehen also genau 12 Markierungen in jeder Hand zur Verfügung. Anstatt mit beiden Händen bis 10 zu zählen, können wir mit einer Hand bis 12 zählen! Die zweite Hand könnte dann genutzt werden um sich zu merken, wie viele komplette 12er bereits gezählt wurden. Damit ließen sich alle duodezimalen Zahlen zwischen 0 und 100 (= 156 dezimal) darstellen.

Beispiel: Beide Daumen jeweils auf dem mittleren Glied des Mittelfingers entsprechen einer duodezimalen 55, bzw. einer dezimalen 65.

Ist ein Wechsel zum Duodezimal-System möglich?

Leider wäre ein Wechsel zum duodezimalen System extrem aufwändig und teuer. Auch wenn die Langzeitvorteile offensichtlich sind, halten die kurzfristigen Nachteile uns von einem Wechsel ab. Dennoch ist es traurig, dass wir bis in alle Ewigkeit mit einem suboptimalen Zählsystem leben müssen.

Duodezimal Vordenker Donald Goodman hält den Wechsel dennoch für nicht unmöglich. Seiner Meinung nach wäre eine Umstellung der Währung der erste wichtige Schritt. Anschließend müssten Aufklärungskampagnen über den Wechsel in den Schulen durchgeführt werden. Was radikal klingt, kann funktionieren. So wurde zum Beispiel erst 1977 das metrische System in Kanada eingeführt.

Eine Top-Down-Einführung von Duodezimal wird es nicht geben. Wenn genug Menschen über die Vorteile aufgeklärt werden, könnte es jedoch zu einer Bottom-Up-Bewegung kommen.

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